Comentario del Tutor: Elegí esta sesión ya que abarca un tema que no es muy usual de ver en Argentina , división de polinomios , por otro lado , en esta sesión el alumno no tenia un problema puntual para resolver , sino que necesitaba practica,  esto no es muy común , ya que normalmente los alumnos nos piden ayuda para resolver problemas particulares, a su vez trae una complicación , ya que se debe proveer un ejercicio adecuado al nivel del alumno , ni muy básico ni muy elevado . Por eso mismo en esta sesión comenzamos con un ejercicio simple , para comprobar que el alumno tuviese los conocimientos básicos necesarios , y luego optamos por resolver uno mas complicado , logrando que el alumno se esfuerce para resolver el ejercicio.

Student

I need help understanding division of polynomial a by monomials and polynomials.

Tutor

Welcome to Tutor.com ! My name is Javier . How are you ?

Student

Hello Javier. I am great. How are you?

Tutor

Im fine , thanks for asking :)

Student

Can you give me an example of a polynomial divided by a monomial and I will give it a shot?

Tutor

sure

x^5 +3x^3 + 4x^2 / x^2

Student

is that right?

Tutor

perfect ! :D

Student

Sweet. I am starting to understand them I think

how about division by a polynomial?

Tutor

ok lets try this one

x^3+2x^2 +x+1 / x+1

perfect :D

right !

and you have a remainder

Student

not for this one right?

oh yes I do

Tutor

mmm let me check something

oh thats right :)

because you erased the 1 now , that was confusing me :)

now its perfect !

Student

hmmmm. lets try one like that again that comes out with a remainder. I got a little iffy there at the end

Sweet

can we try another one that will come out with a remainder?

Tutor

ok

let me think another example

ok

4x^3 + 2x^2 + 5 / x-3

Student

How does that look?

Tutor

lets check that :)

dont forget the 5 :)

Student

ummm ok, lets back up. I’m confused

Tutor

sure

up to that step its perfect :D

Student

so in order to get 14x^2 I must multiply by 14x

Tutor

right

Student

now I switch the signs and add

Tutor

wait

we are doing 42x +5

we cannot add something with an X to something without an X , right ?

Student

oh, it just came to me…I needed a place holder

Tutor

right hehe

Student

may we start this over again

tricky little devil

:-)

Tutor

sure :)

Student

Thank you for throwing that in because I had forgotten all about that

Tutor

ok , lets start again :)

perfect !

wait please

how did the 5 transformed into 126 ?

oh sorry

Student

so in order to get 42x I must multiply by 42

Tutor

because of the 42 :)

yeah i missed that , sorry :)

continue please

Student

no problem

does that look right now?

Tutor

yes it does :)

its perfect :D

Student

OK, great

so I need to remember to watch out for the exponents

and use a place holder whenever needed

Tutor

right :D

do you have any questions about what we have covered today ?

Student

I think I am good for now. I need to practice a little more but I am starting to grasp this. Thank you so much for the help.

Have a nice evening!

Tutor

your welcome :)

Colaborador: Javier Verde, Tutor Argentino de Álgebra

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Student I’m working on composite functions, but do not understand what the «domain» is or how to find it. I can work through the problem, but am lost when it comes to the domain. Please help!

(Tutor) Hi, my name is Juan. How are you today?

Student I’m well. How are you?

(Tutor)  I’m good :D, ok let’s get started!

Student ok. I’m needing to understand, what the «domain» is and how to find it?

(Tutor)  Sure!

the domain is all the values that «x» can take
for example
let’s find the domain of f(x)
f(x)=4x+1
in that case does x have any restriction?
I mean is there an x value that we can’t use?

Student no. I don’t think so

(Tutor) correct
so the domain of that function is all real numbers
for example
this function
is there an x value that we can’t use?

Student 0

(Tutor) You got it!

Student ok

(Tutor)  so the domain of this function is
all real numbers except zero
is it more clear?
or not?
should I try to explain it in a different way?

Student yes.. domain is all values that x can be for the given function

(Tutor)  correct! :D

Student ok

(Tutor) let’s go back to the problem

Student ok

(Tutor)  in this case
the domain of f(x) is all real numbers
how about g(x)?

Student I think i’m still slightly confused.

 (Tutor) in that function
is there any x value that we can’t use?

Student no, i don’t think so

(Tutor) Correct

Student ok

(Tutor) so the domain is all real numbers

Student yes

(Tutor)  Clue: the domain of a polynomial is always all real numbers
f(x) and g(x) are polynomials

Student ok. i see

(Tutor) so the domain will be all real numbers
and how about (fog)(x)

Student f(g(x))

(Tutor) correct :D
but they are asking for gof

Student yes

(Tutor)  ok do you know how to find it?

Student g(4x+1)

(Tutor)  yeah!
then
we have to use g
how would it be?
do you need help?

Student i think i’ve got it. I had trouble with the buttons

 (Tutor)  ohhh
what are you trying to do?

Student  2(4x +1)squared + 5(4x+1)

(Tutor)  yeah!

Student  2(16x ² + 8x + 1) + 20x + 5
32x ² + 16x + 2 + 20 + 5

(Tutor)  it is 20x
but well done!

Student  equals 32x ² + 36x +7

(Tutor)  :D
You got it!
And what’s the domain of that function?
I understand what you wrote
but it should be written
like…

Student  right, negative on the left

Student Thank you so much for your help! :)

(Tutor)  No problem! It was great to work with you!
Bye

Student  thanks. Bye

 Colaborador: Juan Cruz, Tutor Colombiano de Álgebra

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 Colaborador: Giovanny Espinal, Tutor Colombiano de Álgebra

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Center-radius form

Donde (h , k) es el centro del círculo y R es el radio

General Form

Como cambiar de general form a center-radius form

Suelen conocer este método como completar cuadrados. Para hallar el número necesario para completar cada cuadrado se utiliza la regla de dividir “b” por dos , y luego elevarlo al cuadrado.
Siempre se suma en ambos lados para balancear la ecuación.

Elipse

Standard Form

Cuando el eje horizontal es mayor

Cuando el eje vertical es mayor

En ambas figuras la elipse esta centrada en el origen , denominamos al centro c= (h , k).
Es importante destacar que “a” siempre debe ser mayor que “b”. “a” Siempre esta relacionado con el eje mayor.
Los puntos verdes señalan los focos de la elipse, los cuales siempre están situados sobre el eje mayor.

La manera de hallar “c” es la misma para ambos tipos de elipse. Utilizando se, se pueden obtener las coordenadas de los focos.

Pasar de General Form a Standard Form

El método es bastante simple, el único detalle importante es recordar que a la hora de balancear, se debe tener en cuenta que los números añadidos están afectados por los números previamente factoreados, es por eso que del otro lado simplemente sumaremos 1 y 3.

Hipérbola

Standard Form

Eje focal Horizontal

Eje focal Vertical

En ambas figuras la hipérbola esta centrada en el origen, denominamos el centro C= (h,k). Los focos estan representados por los puntos verdes.

Parábola

La linea azul representa el eje de simetría de la parábola.

La linea verde representa la directriz de la parábola.

“p” representa la distancia del foco al vértice y también del vértice a la directriz.

Eje de simetría Vertical

Eje de simetría Horizontal

Ecuacion de las Asíntotas

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Número de “Zeros” posibles Positivos

Para obtenerla evaluaremos la cantidad de cambios de signo entre términos consecutivos.

Podemos observar que hay 4 cambios de signo , por lo tanto tendremos nuestras cantidades posibles de “zeros” positivos serán:

4 , 4-2 =2 , 2-2 =0.  Por lo tanto tendremos 4 ,2 o 0 “zeros” positivos.

Siempre restaremos “2” hasta obtener 0 o 1, como regla para obtener las diferentes cantidades posibles.

Número de “Zeros” posibles Negativos

Para analizar la cantidad de “zeros” negativos utilizaremos f(-x) del polinomio. Luego realizaremos el mismo procedimiento.

Al haber un solo cambio de signo sabemos que hay un solo “zero” negativo. Tambien procederíamos a restar de 2 en 2 , pero aquí no podemos dado que comenzamos desde “1”.

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Diferencia de cuadrados. Difference of perfect squares

Diferencia de Cubos. Difference of Cubes

Suma de Cubos. Sum of Cubes

Trinomios perfectos y no perfectos. Trinomial

Para los trinomios se utilizan algunas formas particulares de resolución, NUNCA utilizar la fórmula cuadrática para factorear un trinomio cuando las raíces son racionales.

Caso 1 : A=1

La idea es buscar dos números que multiplicados den -21 (c) y sumados den  -4 (b).

Podemos pensar en -7 y 3, ya que:
(-7) 3 = -21
(-7) + 3 = -4

Con estos números completamos la factorizaciones.

Cross Method

En la cruz se colocaran “b” y “a x c “ (en rojo). Por lo que se buscaran dos números que sumados den -11 (b) y multiplicados den
-12( a x c).

Obtenemos los valores -12 y +1 ya que:
(-12 ) (+1) = -12
-12 + 1 = -11

Con eso separaremos -11x en -12x y +1x. Luego simplemente aplicaremos factor por grupos.

Box Method

El método es muy similar, también se utiliza la cruz, pero en vez de factorear por grupos a la manera clásica, empleamos la caja.

Se completa la caja como indica la figura y luego se factorea cada fila y cada columna. (indicado por las flechas)

Con los resultados de las filas y columnas factorizadas se puede reescribir el polinomio factorizado

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Luego para obtener la otra variable simplemente se utiliza sustitución.

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Coeficiente Principal Positivo

Coeficiente Principal Negativo

Polinomios Impares “Odd” (Mayor Grado Impar)

Coeficiente Principal Positivo

Coeficiente Principal Negativo

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Primero utilizamos el método de Gauss para evaluar las posibles raíces racionales de nuestro polinomio.

Todos los factores del termino independiente divididos por todos los factores del “leading coefficent”

Luego aleatoriamente comenzaremos a probar, para ver cual o cuales de estas posibles raíces funcionan.
Probamos con 1 , y al obtener 0 como resto , nos indica que “1” es una raíz o cero del polinomio
Finalmente podemos escribir la forma factorizada.

Long Division

Es importante recordar la posición de cada elemento de la división , recordemos que estas están invertidas en el sistema norteamericano.

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